Algoritmo Doomsday

O algoritmo Doomsday ou regra Doomsday (algoritmo do "dia do fim do mundo", em inglês), é um algoritmo que permite calcular em qual dia da semana cai um dia de um determinado ano. Seu nome provém do termo doomsday, nome em inglês para datas "fáceis de lembrar", como o último dia de fevereiro, data na qual se baseiam os cálculos deste algoritmo.

Introdução

Este algoritmo de cálculo mental foi inventado pelo matemático inglês John Conway. Tem a característica de proporcionar um calendário perpétuo (o calendário gregoriano, pelo contrário, funciona em ciclos de 400 anos, tras os que precisa uma revisão). Parte do fato de que, no calendário (juliano ou gregoriano) de qualquer ano, os dias 4 de abril (4/4), 6 de junho (6/6), 8 de agosto (8/8), 10 de outubro (10/10) e 12 de dezembro (12/12) sempre caem no mesmo dia da semana, sendo este o mesmo dia da semana no que cai o último dia de fevereiro. Tem que ter em conta que para o calendário juliano o Doomsday de um ano caia num dia da semana que pode diferir do que lhe corresponde no calendário Gregoriano.

O algoritmo consiste de três passos: encontrar o dia marcador do século, encontrar o Doomsday do ano, e encontrar o dia da semana da data que desejamos buscar.

Cálculo do Doomsday de um ano

Primeiro tomamos o dia marcador do século. Lembremos que, a todos os efeitos concernentes à regra Doomsday, cada século começa com um ano "00" e termina com um ano "99".

Século	Marcador	Mnemônico
1800-1899	Sexta-feira
1900-1999	Quarta-feira	Em inglês, "We-in-dis-day" (aproximadamente "nós neste dia") é similar à pronúncia de "Wednesday", quarta-feira em inglês.
2000-2099	Terça-feira	Em inglês, "Y-Tue-K" soa parecido com "Y2K", uma abreviação de "Ano 2000" (Year 2000), que foi o início deste século. Tue é a abreviatura de "Tuesday", Terça-feira em inglês.
2100-2199	Domingo

A continuação, encontramos o Doomsday correspondente ao ano. Para levar isto a cabo segundo Conway, começamos por dividir os dois últimos dígitos do ano (chamamos isto de $y$) por 12 e ficamos com a parte inteira do quociente (à que denominamos por $a$) e o resto (ao que chamamos $b$). Depois disso, dividimos ao resto por 4 e pegamos a parte inteira do quociente ($c$). Finalmente, determinamos a suma destes três números para obter o total $d=a+b+c$. (É possível dividir por 7 e ficamos com o resto. Este número é equivalente, e deve ser igual, à soma dos últimos dois dígitos do ano mais a parte inteira destes dígitos dividido por 4)

Agora, contamos para diante o número especificado de dias ($d$ ou o resto que fica ao dividí-lo por 7) a partir do dia marcador, e encontramos o Doomsday que corresponde ao nosso ano. $\left({\left\lfloor {\frac {y}{12}}\right\rfloor +y{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {y{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {{marcador}={\rm {Doomsday}}}}$

Por exemplo, para o ano 1966, no século XX, temos:

${\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {66}{12}}\right\rfloor +66{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {66{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {Quarta}}&=&\left(5+6+1\right){\bmod {7}}+{\rm {Quarta}}\\\ &=&{\rm {Segunda}}\end{matrix}}$

Por o que o Doomsday de 1966 caiu em segunda-feira.

Similarmente, o Doomsday de 2005 caiu também em segunda-feira, já que:

$\left({\left\lfloor {\frac {5}{12}}\right\rfloor +5{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {5{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\mbox{Terça}}={\mbox{Segunda}}$

Cálculo do dia da semana de uma data dada

O dia da semana de uma determinada data pode ser encontrado com facilidade a partir de um Doomsday.

Os dias seguintes sempre caem em Doomday correspondente para qualquer ano no calendário Gregoriano ou Juliano:

• 3 de janeiro 3 anos de cada 4, isto é, os anos normais; 4 de janeiro os anos bissextos
• O último dia de fevereiro - o 28 para os anos normais, ou o 29 para os anos bissextos
• "O 0 de março" (segundo a extensão que estava atras do calendário, se corresponde com o último dia de Fevereiro.)
• 4 de abril
• 9 de maio
• 6 de junho
• 11 de julho
• 8 de agosto
• 5 de setembro
• 10 de outubro
• 7 de novembro
• 12 de dezembro

As datas listadas acima foram escolhidas por serem fáceis de lembrar: as correspondentes aos meses pares são simplemente dobros, 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12, e as de quatro dos meses ímpares (5/9, 9/5, 7/11 e 11/7) podem ser lembradas usando a memorização "Trabalho de 9 a 5 no 11."

Para as datas em março, o 7 de março cai em Doomsday, mas a pseudodata "0 de março" é mais fácil de lembrar, pois ela corresponde ao último dia de fevereiro.

O Doomsday de um ano está diretamente relacionado com os dias da semana para datas no período compreendido entre março e fevereiro do ano seguinte. Para as datas correspondentes a janeiro e fevereiro do ano atual, devemos fazer uma distinção entre anos normais e bissextos.

Lista de todos os Doomsdays

Janeiro (anos normais)	3, 10, 17, 24, e 31	1-5
Janeiro (anos bissextos)	4, 11, 18, e 25
Fevereiro (anos normais)	7, 14, 21, e 28	6-9
Fevereiro (anos bissextos)	1, 8, 15, 22, e 29
Março	7, 14, 21, e 28	10-13
Abril	4, 11, 18, e 25	14-17
Maio	2, 9, 16, 23, e 30	18-22
Junho	6, 13, 20, e 27	23-26
Julho	4, 11, 18, e 25	27-30
Agosto	1, 8, 15, 22, e 29	31-35
Setembro	5, 12, 19, e 26	36-39
Outubro	3, 10, 17, 24, e 31	40-44
Novembro	7, 14, 21, e 28	45-48
Dezembro	5, 12, 19, e 26	49-52
Janeiro do ano seguinte	2, 9, 16, 23, e 30
Fevereiro do ano seguinte	6, 13, 20, e 27

Nos anos bissextos, o $n$-ésimo Doomsday cai na $n$-ésima semana ISO. Nos anos normais, o dia depois do $n$-ésimo Doomsday cai na semana $n$, assim, num ano normal o número da semana de um Doomsday é um menor se este é domingo, isto é, nos anos normais que começam em sexta-feira.

Fórmula para o Doomsday de um ano

As fórmulas seguintes para o calculo do Doomsday de um ano são convenientes para o uso com ordenadores:

Para o calendário Gregoriano:

${\mbox{Doomsday}}={\mbox{terça-feiras}}+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor$

Para o calendário Juliano:

${\mbox{Doomsday}}={\mbox{Domingo}}+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor$

Estas fórmulas também são aplicáveis para o calendário gregoriano proléptico e para o calendário juliano proléptico. Utilizam a função parte inteira e a numeração anual astronômica para anos a.C. Compare com a data Juliana.

Ciclo

O ciclo completo de 400 anos dos Doomsday estão na seguinte tabela. Os séculos correspondem ao calendário gregoriano e gregoriano proléptico, a menos que estejam marcados com um J para Juliano (para que não se mostre todos os séculos, que é mais fácil de interpolar). Os anos bissextos no calendário Gregoriano aparecem ampliados

            ,-----,-----,-----,-----,
            |-200J|  00J| 200J| 400J|
            | 500J| 700J| 900J|1100J|
            |1200J|1400J|1600J|1800J|
            |1900J|2100J|2300J|2500J|
            |     |     |     |     |
            |-400 |-300 |-200 |-100 |
            |  00 | 100 | 200 | 300 |
            | 400 | 500 | 600 | 700 |
            | 800 | 900 |1000 |1100 |
            |1200 |1300 |1400 |1500 |
            |1600 |1700 |1800 |1900 |
            |2000 |2100 |2200 |2300 |
,-----------+-----+-----+-----+-----|
|         00| M A | DO  | VI  | MI  |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|85 57 29 01| MI  | LU  | SA  | JU  |
|86 58 30 02| JU  | MA  | DO  | VI  |
|87 59 31 03| VI  | MI  | LU  | SA  |
|88 60 32 04| D O | V I | M I | L U |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|89 61 33 05| LU  | SA  | JU  | MA  |
|90 62 34 06| MA  | DO  | VI  | MI  |
|91 63 35 07| MI  | LU  | SA  | JU  |
|92 64 36 08| V I | M I | L U | S A |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|93 65 37 09| SA  | JU  | MA  | DO  |
|94 66 38 10| DO  | VI  | MI  | LU  |
|95 67 39 11| LU  | SA  | JU  | MA  |
|96 68 40 12| M I | L U | S A | J U |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|97 69 41 13| JU  | MA  | DO  | VI  |
|98 70 42 14| VI  | MI  | LU  | SA  |
|99 71 43 15| SA  | JU  | MA  | DO  |
|   72 44 16| L U | S A | J U | M A |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|   73 45 17| MA  | DO  | VI  | MI  |
|   74 46 18| MI  | LU  | SA  | JU  |
|   75 47 19| JU  | MA  | DO  | VI  |
|   76 48 20| S A | J U | M A | D O |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|   77 49 21| DO  | VI  | MI  | LU  |
|   78 50 22| LU  | SA  | JU  | MA  |
|   79 51 23| MA  | DO  | VI  | MI  |
|   80 52 24| J U | M A | D O | V I |
|-----------+-----+-----+-----+-----|
|   81 53 25| VI  | MI  | LU  | SA  |
|   82 54 26| SA  | JU  | MA  | DO  |
|   83 55 27| DO  | VI  | MI  | LU  |
|   84 56 28| M A | D O | V I | M I |
'-----------+-----+-----+-----+-----|
            |1600 |1700 |1800 |1900 |
            |2000 |2100 |2200 |2300 |
            '-----'-----'-----'-----'