Árvore (grafo)

 Nota: Para outros significados de Árvore, veja Árvore (desambiguação).

Uma árvore com 5 arestas e 6 vértices.

Na teoria dos grafos, uma árvore é um grafo conexo (existe caminho entre quaisquer dois de seus vértices) e acíclico (não possui ciclos). Caso o grafo seja acíclico mas não conexo, ele é dito uma floresta. Uma floresta também é definida como uma união disjunta de árvores.

Toda árvore é um grafo, mas nem todo grafo é uma árvore. Toda árvore é um grafo bipartido e planar. Todo grafo conexo possui pelo menos uma árvore de extensão associada, composta de todos os seus vértices e algumas de suas arestas.

Propriedades

Seja G um grafo de n vértices. G é uma árvore se satisfaz as seguintes condições:

• G é conexo, e há exatamente um caminho entre dois vértices quaisquer. Já em uma floresta, há no máximo um caminho entre dois vértices, devido à não-conectividade.
• G é acíclico, e um simples ciclo é formado se qualquer aresta for adicionada a G.
• G é conexo, e deixará de ser conexo se qualquer aresta for removida de G.
• G é conexo, acíclico e tem n − 1 arestas.

Definições

• Uma árvore é denominada enraizada se um vértice é escolhido como especial. Esse vértice é chamado raiz. Uma árvore que não é enraizada é denominada livre.
• Um grafo G é uma árvore se e somente se existir um único caminho entre cada par de vértices de G.